Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1 ( a＞b＞0 )的一個(gè)頂點(diǎn)A與拋物線y=

1

8

x2的焦點(diǎn)重合，離心率e=

6

3

（1）求橢圓的方程；
（2）直線l：y=kx-2（k≠0）與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N滿足

MP

 =

PN

 ， 

AP

 • 

MN

=0，求k．

Answer 1

分析：（1）設(shè)c=

a2-b2

，依題意得

b=2 e= c a = a2-b2 a = 6 3

，由此能求出橢圓方程．
（2）由

MP

 =

PN

 ， 

AP

 • 

MN

=0，知AP⊥MN，且點(diǎn)P線段MN的中點(diǎn)，由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

，得（1+3k²）x²-12kx=0．設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀），則x1+x2=

12k

1+3k2

，P (

6k

1+3k2

 ， 

-2

1+3k2

)．由k≠0，知直線AP的斜率為k1=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-2(1+3k2)

6k

，由MN⊥AP，解得k=±

3

3

．

解答：解：（1）設(shè)c=

a2-b2

，依題意得

b=2 e= c a = a2-b2 a = 6 3

，即

b=2 6a2=9a2-9b2

∴a²=3b²=12，即橢圓方程為

x2

12

+

y2

4

=1．
（2）∵

MP

 =

PN

 ， 

AP

 • 

MN

=0∴AP⊥MN，且點(diǎn)P線段MN的中點(diǎn)，
由

y=kx-2 x2 12 + y2 4 =1

消去y得x²+3（kx-2）²=12，即（1+3k²）x²-12kx=0（*）
由k≠0，得方程（*）的△=（-12k）²=144k²＞0，顯然方程（*）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
設(shè)M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），線段MN的中點(diǎn)P（x₀，y₀），
則x1+x2=

12k

1+3k2

，∴x0=

x1+x2

2

=

6k

1+3k2

∴y0=kx0-2=

6k2-2 (1+3k2)

1+3k2

=

-2

1+3k2

，即P (

6k

1+3k2

 ， 

-2

1+3k2

)∵k≠0，∴直線AP的斜率為k1=

-2 1+3k2 -2

6k 1+3k2

=

-2-2(1+3k2)

6k

，
由MN⊥AP，得

-2-2(1+3k2)

6k

×k=-1，
∴2+2+6k²=6，解得：k=±

3

3

，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．