Question

以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且兩個(gè)坐標(biāo)系取相等的長(zhǎng)度單位．曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin²θ=4cosθ．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（2，0），傾斜角為

π

6

的直線l與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（I）把極坐標(biāo)方程利用x=ρcosθ、y=ρsinθ，化為直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入y²=4x，利用韋達(dá)定理求得t₁+t₂和t₁t₂的值，可得|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=

(t1+t2)2-4t1•t2

和|PA|•|PB|=|t₁ •t₂|的值，即可求得 

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|PA|+|PB|

|PA|•|PB|

的值．

解答： 解：（I）由ρsin²θ=4cosθ，得 （ρsinθ）²=4ρcosθ，
所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為y²=4x．
（Ⅱ）將直線l的參數(shù)方程代入y²=4x，得t²-8

3

t-32=0．
設(shè)A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=8

3

，t₁t₂=-32．
∴|PA|+|PB|=|t₁ -t₂|=

(t1+t2)2-4t1•t2

=8

5

，|PA|•|PB|=|t₁ •t₂|=32，
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|PA|+|PB|

|PA|•|PB|

=

5

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線的參數(shù)方程、參數(shù)的意義，屬于基礎(chǔ)題．