Question

19．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點(diǎn)，過(guò)F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF₂是銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是（　�。�

• A． （1，+∞）
• B． $（1，1+\sqrt{2}）$
• C． $（1，\sqrt{3}）$
• D． $（1-\sqrt{2}，1+\sqrt{2}）$

Answer 1

分析 由過(guò)F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)可知△ABC為銳角三角形，△ABF₂為銳角三角形只要∠AF₂B為銳角即可，由此可知$\frac{^{2}}{a}$＜2c，從而能夠推導(dǎo)出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答 解：由題設(shè)條件可知△ABF₂為等腰三角形，
若△ABF₂是銳角三角形，
只要∠AF₂B為銳角，
即∠AF₂B＜45°，
即AF₁＜F₁F₂即可；
當(dāng)x=-c時(shí)，$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
設(shè)A（-c，$\frac{^{2}}{a}$），
∴$\frac{^{2}}{a}$＜2c，
即2ac＞c²-a²，
得e²-2e-1＜0
解出e∈（1，1+$\sqrt{2}$），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用．根據(jù)條件得到∠AF₂B＜45°是解決本題的關(guān)鍵．