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已知數列{an}的前n項和Sn與an滿足,其中b是與n無關的常數,且b≠-1.
(1)求a1,a2
(2)求an和an-1的關系式;
(3)猜想用n和b表示an的表達式(須化簡),并證明之.
【答案】分析:(1)根據,分別將n=1、2代入,即可得到結論;
(2)n≥2時,,兩式相減,化簡可得an和an-1的關系式;
(3)猜想.用數學歸納法證明猜想成立,證題時要利用到歸納假設.
解答:解:(1)由
當n=1時,,∴
當n=2時,,∴
(2)n≥2時,
,兩式相減,化簡可得
(3)由(1)得:;;
得:;
猜想                       …(8分)
下面用數學歸納法證明猜想成立.
(i)當n=1時,,成立;
(ii)假設n=k時成立,即
當n=k+1時,∵
==
所以,當n=k+1時也成立.…(12分)
由(i)(ii)可知,對一切自然數n都成立,即通項為:=…(14分)
點評:本題考查數列遞推式,考查數學歸納法,解題的關鍵是正確運用數列遞推式,掌握數學歸納法的證題步驟.
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