Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n與a_n滿足，其中b是與n無關的常數，且b≠-1．
（1）求a₁，a₂；
（2）求a_n和a_n-1的關系式；
（3）猜想用n和b表示a_n的表達式（須化簡），并證明之．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據，分別將n=1、2代入，即可得到結論；
（2）n≥2時，，，兩式相減，化簡可得a_n和a_n-1的關系式；
（3）猜想．用數學歸納法證明猜想成立，證題時要利用到歸納假設．
解答：解：（1）由
當n=1時，，∴
當n=2時，，∴
（2）n≥2時，
∵，兩式相減，化簡可得
（3）由（1）得：；；
由得：；
猜想                       …（8分）
下面用數學歸納法證明猜想成立．
（i）當n=1時，，成立；
（ii）假設n=k時成立，即，
當n=k+1時，∵
∴==
所以，當n=k+1時也成立．…（12分）
由（i）（ii）可知，對一切自然數n都成立，即通項為：=…（14分）
點評：本題考查數列遞推式，考查數學歸納法，解題的關鍵是正確運用數列遞推式，掌握數學歸納法的證題步驟．