Question

小王在年初用50萬元購買一輛大貨車．車輛運(yùn)營，第一年需支出各種費(fèi)用6萬元，從第二年起，以后每年的費(fèi)用都比上一年的費(fèi)用增加支出2萬元，假定該車每年的運(yùn)輸收入均為25萬元．小王在該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第n年的年底出售，其銷售價(jià)格為25-n萬元（國家規(guī)定大貨車的報(bào)廢年限為10年）．
（1）大貨車運(yùn)輸?shù)降趲啄昴甑�，該車運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出？
（2）在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年利潤最大？（利潤=累計(jì)收入+銷售收入-總支出）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由n總收入減去總支出得到大貨車到第n年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差，然后求解一元二次不等式得答案；
（2）由利潤=累計(jì)收入+銷售收入-總支出得到第n年年底將大貨車出售時(shí)小王獲得的年利潤，然后利用基本不等式求最值．

解答： 解：（1）設(shè)大貨車到第n年年底的運(yùn)輸累計(jì)收入與總支出的差為y萬元，則
y=25n-[6n+

n(n-1)

2

×2]-50（0＜n≤10，n∈N），
即y=-n²+20n-50（0＜n≤10，n∈N），
由-n²+20n-50＞0，解得10-5

2

＜n＜10+5

2

，
而2＜10-5

2

＜3，
故從第3年開始運(yùn)輸累計(jì)收入超過總支出．
（2）∵利潤=累計(jì)收入+銷售收入-總支出，
∴銷售二手貨車后，小王的年平均利潤為
w=

1

n

[y+(25-n)]=

1

n

(-n2+19n-25)=19-（n+

25

n

）．
而19-(n+

25

n

)≤19-2

n• 25 n

=9．
當(dāng)且僅當(dāng)n=5時(shí)取等號(hào)．
即小王應(yīng)在第5年年底將大貨車出售，才能使年平均利潤最大．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)模型的選擇及運(yùn)用，考查了簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．