Question

19．已知△ABC的頂點A（1，5），AB邊上的中線CM所在直線方程為x-2y+5=0，AC邊上的高BH所在直線方程為2x-y+5=0，求：
（Ⅰ）頂點C的坐標；
（Ⅱ）直線BC的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設頂點C的坐標為（ m，n），利用條件以及線段的中點公式、兩條直線垂直的性質，求得m、n的值，可得點C的坐標．
（Ⅱ）設點B的坐標為（e，f），利用條件線段的中點公式，求得e、f的值，可得B的坐標，再利用式求得直線BC的方程．

解答 解：（Ⅰ）設頂點C的坐標為（ m，n），則由點C在直線CM上，可得m-2n+5=0 ①．
再根據AC⊥BH，可得$\frac{n-5}{m-1}$•2=-1 ②，
由①②求得 $\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=4}\end{array}\right.$，∴C（3，4）．
（Ⅱ）設點B的坐標為（e，f），則AB的中點（$\frac{e+1}{2}$，$\frac{f+5}{2}$）在CM：x-2y+5=0上，
∴$\frac{e+1}{2}$-2•$\frac{f+5}{2}$+5=0，即e-2f-4=0 ③．
再根據點B的坐標為（e，f） 滿足BH所在直線方程2x-y+5=0，可得2e-f+5=0 ④，
由③④求得$\left\{\begin{array}{l}{e=-\frac{14}{3}}\\{f=-\frac{13}{3}}\end{array}\right.$，∴B（-$\frac{14}{3}$，-$\frac{13}{3}$），由兩點式求得直線BC的方程為$\frac{y-4}{-\frac{13}{3}-4}$=$\frac{x-3}{-\frac{14}{3}-3}$，
即 25x-23y+17=0．

點評 本題主要考查兩條直線垂直的性質，線段的中點公式，用兩點式求直線的方程，屬于中檔題．