Question

【題目】已知a∈R，函數f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．

(1)當a＝2時，求函數f(x)的單調區(qū)間；

(2)若函數f(x)在(－1，1)上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）[，+∞）

【解析】

（1）求出a=2的函數f（x）的導數，令導數大于0，得增區(qū)間，令導數小于0，得減區(qū)間；

（2）求出f（x）的導數，由題意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函數的圖象和性質，得到不等式組，即可解得a的范圍．

（1）a=2時，f（x）=（﹣x2+2x）ex的導數為

f′（x）=ex（2﹣x2），

由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，

由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．

即有函數f（x）的單調減區(qū)間為（﹣∞，﹣），（，+∞），

單調增區(qū)間為（﹣，）．

（2）函數f（x）=（﹣x2+ax）ex的導數為

f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，

由函數f（x）在（﹣1，1）上單調遞增，

則有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，

即為a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，

則有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，

解得a≥．

則有a的取值范圍為[，+∞）．