Question

函數(shù)f（x）=cos²x+2sin²

x

2

-2的一個單調(diào)增區(qū)間是（　�。�

• A．(

  π

  3

  ，

  2π

  3

  )
• B．(

  π

  6

  ，

  π

  2

  )
• C．(0，

  π

  3

  )
• D．(-

  π

  6

  ，

  π

  6

  )

Answer 1

分析：把給出的函數(shù)解析式化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)，換元后畫出內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的圖象，通過分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)圖象的變化情況得到答案．

解答：解：由f（x）=cos²x+2sin²

x

2

-2
=cos2x+2sin2

x

2

-1-1
=cos²x-cosx-1．
令t=cosx，（-1≤t≤1）．
則f（x）=g（t）=t²-t-1．
內(nèi)層函數(shù)t=cosx與外層函數(shù)的圖象如圖：

由內(nèi)層函數(shù)t=cosx的圖象可知，當(dāng)x∈(

π

3

，

2π

3

)時，函數(shù)值t由

1

2

減小到-

1

2

．
外層函數(shù)g（t）=t²-t-1隨著t的減小而增大，
即當(dāng)x∈(

π

3

，

2π

3

)時，函數(shù)值y隨著x的增大而增大．
∴(

π

3

，

2π

3

)為函數(shù)f（x）=cos²x+2sin²

x

2

-2的一個單調(diào)增區(qū)間．
故選A．

點評：本題考查了復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了換元法，通過作圖，能夠直觀的看出函數(shù)值隨自變量變化而變化的情況，是中檔題．