Question

8．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+a$（x≠0），則“f（-1）=-1”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”的充要條件（用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）．

Answer 1

分析 先根據(jù)奇函數(shù)的定義求出a=$\frac{1}{2}$，再分別根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{{{3^x}-1}}+a$，
∴f（-x）=$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+a，
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+a=-$\frac{1}{{3}^{x}-1}$-a，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∵f（-1）=-1，
∴$\frac{1}{{3}^{-1}-1}$+a=-1，
解得a=$\frac{1}{2}$，
“f（-1）=-1”是“函數(shù)f（x）為奇函數(shù)”的充要條件，
故答案為：充要．

點評 本題考查了充要條件和奇函數(shù)的定義和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．