Question

（2013•鐵嶺模擬）已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，{b_n}為等差數(shù)列且各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N*)，b1+b2+b3=15
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，求

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

．

Answer 1

分析：（1）把n=1代入a_n+1=2S_n+1，并根據(jù)S₁=a₁進(jìn)行化簡(jiǎn)得到a₂=3a₁，當(dāng)n大于等于2時(shí)，表示出a_n+1-a_n，根據(jù)S_n-S_n-1=a_n變形，可得出a_n+1=3a_n，進(jìn)而確定出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比為3的等比數(shù)列，表示出此等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可；
（2）設(shè)出等差數(shù)列{b_n}的公差為d，由已知b₁+b₂+b₃=15，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)，可得出b₂的值，再由a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)得到關(guān)于d的方程，求出方程的解得到d的值，進(jìn)而求出b₁的值，利用等差數(shù)列的求和公式表示出T_n，利用拆項(xiàng)法得到

1

Tn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
列舉出T_n的各項(xiàng)，抵消合并后即可得到所求式子的值．

解答：解：（1）a₂=2S₁+1=3=3a₁，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n，（3分）
∴a_n+1=3a_n，即

an+1

an

=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比為3的等比數(shù)列，（4分）
從而得：an=3n-1；（6分）
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d（d＞0），
∵T₃=15，∴b₂=5，
依題意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比數(shù)列，
則有(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)，
又a₂=3，b₁=b₂+d=5-d，b₃=b₂+d=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
解得：d=2或d=-10（舍去），（8分）
∵b₁=5-d=5-2=3，
∴Tn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n，（10分）
∵

1

Tn

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

），
則

1

T1

+

1

T2

+…+

1

Tn

=

1

2

[(

1

1

+

1

2

+…+

1

n

)-(

1

3

+

1

4

+…+

1

n+2

)]
=

1

2

[(

1

1

+

1

2

)-(

1

n+1

+

1

n+2

)]=

3

4

-

2n+3

2(n+1)(n+2)

．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的確定，以及數(shù)列的求和，利用了拆項(xiàng)的方法，熟練掌握性質(zhì)及公式是解本題的關(guān)鍵．