Question

已知在△ABC中，角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，若asin（

π

2

-C），bsin（

π

2

-B），csin（

π

2

-A）依次成等差數列．
（1）求角B；
（2）如果△ABC的外接圓的面積為π，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點：正弦定理,等差數列的通項公式

專題：計算題,解三角形

分析：（1）利用asin（

π

2

-C），bsin（

π

2

-B），csin（

π

2

-A）依次成等差數列，結合正弦定理，即可求出角B；
（2）由△ABC的外接圓的面積為π，求出半徑，利用正弦定理可得b，再利用余弦定理，結合基本不等式，即可求△ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵asin（

π

2

-C），bsin（

π

2

-B），csin（

π

2

-A）依次成等差數列，
∴asin（

π

2

-C）+csin（

π

2

-A）=2bsin（

π

2

-B），
∴sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，
∴sin（A+C）=2sinBcosB，
∴cosB=

1

2

，∴B=

π

3

；
（2）∵△ABC的外接圓的面積為π，
∴r=1，
∴b=2rsinB=

3

，
∴3=a²+c²-2accosB≥ac，
當且僅當a=c時，取等號，即ac的最大值為3，
∴△ABC面積的最大值為

1

2

acsinB=

3 3

4

．

點評：本題考查正弦定理、余弦定理的運用，考查基本不等式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．