已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（－3,0)，一條漸近線的方程是
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若以k（k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M, N,且線段MA的垂直平分線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求k的取值范圍。

(1)  ；(2)

解析試題分析：(1)因為中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1（一3,0)，一條漸近線的方程是，兩個條件即可求出雙曲線的方程.
(2)依題意可得通過假設(shè)直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程消去y，即可得到一個關(guān)于x的二次方程，運用韋達(dá)定理以及判別式要大于零，即可寫出線段MN的中垂線的直線方程，從而求出直線與兩坐標(biāo)軸的交點，即可表示出所求的三角形的面積，從而得到一個等式結(jié)合判別式的關(guān)系式，即可得到結(jié)論.
試題解析：（1）設(shè)雙曲線的方程為，
由題設(shè)得  解得，所以雙曲線的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為，點，的坐標(biāo)滿足方程組，將①式代入②式，得，
整理得，此方程有兩個不等實根，于是，
且，
整理得.③ 由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點坐標(biāo)滿足：
，，從而線段的垂直平分線的方程為，此直線與軸，軸的交點坐標(biāo)分別為，，
由題設(shè)可得，整理得，，
將上式代入③式得，整理得，，解得或， 所以的取值范圍是． 
考點：1.待定系數(shù)的應(yīng)用.2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.3.三角形的面積的表示方法.4.韋達(dá)定理.5.代數(shù)的運算能力.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)橢圓C:+=1(a>b>0)過點(0,4),離心率為.
(1)求C的方程;
(2)求過點(3,0)且斜率為的直線被C所截線段的中點坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓C1:+=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A,B,點P是雙曲線C2:-=1在第一象限內(nèi)的圖象上一點,直線AP,BP與橢圓C1分別交于C,D點,若S△ACD=S△PCD.

(1)求P點的坐標(biāo).
(2)能否使直線CD過橢圓C1的右焦點,若能,求出此時雙曲線C2的離心率;若不能,請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0).
(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
(2)在(1)的條件下,設(shè)過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點),求直線l的斜率k的取值范圍.
(3)過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設(shè)原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

橢圓的離心率為，且經(jīng)過點過坐標(biāo)原點的直線與均不在坐標(biāo)軸上，與橢圓M交于A、C兩點，直線與橢圓M交于B、D兩點
（1）求橢圓M的方程；
（2）若平行四邊形ABCD為菱形，求菱形ABCD的面積的最小值

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如圖，已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍，且經(jīng)過點M(2,1)，平行于OM的直線l在y軸上的截距為m，直線l與橢圓相交于A，B兩個不同點．

(1)求實數(shù)m的取值范圍；
(2)證明：直線MA，MB與x軸圍成的三角形是等腰三角形．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖X15－3所示，已知圓C1：x2＋(y－1)2＝4和拋物線C2：y＝x2－1，過坐標(biāo)原點O的直線與C2相交于點A，B，定點M的坐標(biāo)為(0，－1)，直線MA，MB分別與C1相交于點D，E.

(1)求證：MA⊥MB；
(2)記△MAB，△MDE的面積分別為S1，S2，若＝λ，求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓與雙曲線x2－y2＝0有相同的焦點，且離心率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點P(0，1)的直線與該橢圓交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若＝2，求△AOB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，設(shè)橢圓：的離心率，頂點的距離為,為坐標(biāo)原點.

（1）求橢圓的方程；
（2）過點作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于兩點.
（�。┰嚺袛帱c到直線的距離是否為定值.若是請求出這個定值，若不是請說明理由；
（ⅱ）求的最小值.

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