5.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x-ax2,a∈R.
(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在區(qū)間$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)證明不等式:$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{ln(n+1)}>\frac{n}{n+1}$.

分析 (Ⅰ)由題知f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞),求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),可得當(dāng)a=0時,f′(x)>0在$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$上恒成立;當(dāng)a≠0時,求出導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn),分a>0和a<0討論求得使函數(shù)f(x)在$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間的a的范圍;
(Ⅱ)取a=1,可知在(0,+∞)上,f′(x)<0恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,由此得到ln(1+x)<x+x2在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,
取x=n,n∈N*,則0<ln(1+n)<n+n2,得$\frac{1}{ln(1+n)}>\frac{1}{{n+{n^2}}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,分別取n=1,2,3,…,n,利用累加法證明$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{ln(n+1)}>\frac{n}{n+1}$.

解答 解:(Ⅰ)由題知f(x)的定義域?yàn)椋?1,+∞),
${f^'}(x)=\frac{1}{x+1}-1-2ax=\frac{{-2a{x^2}-(2a+1)x}}{x+1}$,
當(dāng)a=0時,${f^'}(x)=\frac{-x}{x+1}>0$在$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$上恒成立,即$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,滿足條件;
當(dāng)a≠0時,由f′(x)=0,得x=0,或$x=-1-\frac{1}{2a}$.
若a>0,$-1-\frac{1}{2a}<-1$,由f′(x)>0,得-1<x<0,即f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增,顯然,$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$為函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
若a<0,要使函數(shù)f(x)在$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間,則f′(x)>0的解集與$({-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}})$有公共區(qū)間,即$-1-\frac{1}{2a}>-\frac{1}{2}$,-1<a<0.
綜上所述,若函數(shù)f(x)在區(qū)間$[{-\frac{1}{2},-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-1,+∞);
證明:(Ⅱ)a=1時,在(0,+∞)上,f′(x)<0恒成立,即函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,
∴x∈(0,+∞)時,f(x)<f(0)=0恒成立,
即 ln(1+x)-x-x2<0,
即ln(1+x)<x+x2在區(qū)間(0,+∞)上恒成立,
取x=n,n∈N*,則0<ln(1+n)<n+n2,
即$\frac{1}{ln(1+n)}>\frac{1}{{n+{n^2}}}$,
即$\frac{1}{ln(1+n)}>\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,
∴$\frac{1}{ln2}>\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{ln3}>\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{ln4}>\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$,…,$\frac{1}{lnn}>\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,$\frac{1}{ln(1+n)}>\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$.
∴$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}…+\frac{1}{ln(n+1)}>1-\frac{1}{n+1}$,
即$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}…+\frac{1}{ln(n+1)}>\frac{n}{n+1}$.

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,是壓軸題.

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