Question

5．已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x-ax²，a∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）證明不等式：$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{ln（n+1）}＞\frac{n}{n+1}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題知f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得當(dāng)a=0時，f′（x）＞0在$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$上恒成立；當(dāng)a≠0時，求出導(dǎo)函數(shù)的兩個零點(diǎn)，分a＞0和a＜0討論求得使函數(shù)f（x）在$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間的a的范圍；
（Ⅱ）取a=1，可知在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，由此得到ln（1+x）＜x+x²在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
取x=n，n∈N^*，則0＜ln（1+n）＜n+n²，得$\frac{1}{ln（1+n）}＞\frac{1}{{n+{n^2}}}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，分別取n=1，2，3，…，n，利用累加法證明$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+…+\frac{1}{ln（n+1）}＞\frac{n}{n+1}$．

解答 解：（Ⅰ）由題知f（x）的定義域?yàn)椋?1，+∞），
${f^'}（x）=\frac{1}{x+1}-1-2ax=\frac{{-2a{x^2}-（2a+1）x}}{x+1}$，
當(dāng)a=0時，${f^'}（x）=\frac{-x}{x+1}＞0$在$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$上恒成立，即$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，滿足條件；
當(dāng)a≠0時，由f′（x）=0，得x=0，或$x=-1-\frac{1}{2a}$．
若a＞0，$-1-\frac{1}{2a}＜-1$，由f′（x）＞0，得-1＜x＜0，即f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞增，顯然，$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$為函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
若a＜0，要使函數(shù)f（x）在$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間，則f′（x）＞0的解集與$（{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}）$有公共區(qū)間，即$-1-\frac{1}{2a}＞-\frac{1}{2}$，-1＜a＜0．
綜上所述，若函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{1}{2}，-\frac{1}{3}}]$上有單調(diào)遞增區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-1，+∞）；
證明：（Ⅱ）a=1時，在（0，+∞）上，f′（x）＜0恒成立，即函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴x∈（0，+∞）時，f（x）＜f（0）=0恒成立，
即 ln（1+x）-x-x²＜0，
即ln（1+x）＜x+x²在區(qū)間（0，+∞）上恒成立，
取x=n，n∈N^*，則0＜ln（1+n）＜n+n²，
即$\frac{1}{ln（1+n）}＞\frac{1}{{n+{n^2}}}$，
即$\frac{1}{ln（1+n）}＞\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴$\frac{1}{ln2}＞\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{ln3}＞\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{ln4}＞\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，…，$\frac{1}{lnn}＞\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$，$\frac{1}{ln（1+n）}＞\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$．
∴$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}…+\frac{1}{ln（n+1）}＞1-\frac{1}{n+1}$，
即$\frac{1}{ln2}+\frac{1}{ln3}+\frac{1}{ln4}…+\frac{1}{ln（n+1）}＞\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)不等式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．