Question

已知f（x）=log_a（ka^x+1-a），（a＞1，k∈R）．
（1）當k=1時，求f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，10]上總有意義，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）解a^x+1-a＞0，即a^x+1＞a，…（2分）
因為a＞1，所以x＞0，f（x）的定義域為{x|x＞0}．…（4分）
（2）令ka^x+1-a＞0，即，…（6分）
由于a＞1，所以，又上式對于x∈[0，10]時恒成立，
所以k應大于的最大值，…（8分）
因為x∈[0，10]，所以的最大值為1，
所以k＞1，即k的取值范圍是{k|k＞1}．…（10分）
分析：（1）當k=1時，我們易根據f（x）=log_a（ka^x+1-a）得到函數的解析式，根據對數式的真數必須大于0，我們可以構造一個指數不等式，結合a＞1，解指數不等式即可得到f（x）的定義域；
（2）若f（x）在區(qū)間[0，10]上總有意義，即ka^x+1-a＞0對于x∈[0，10]時恒成立，根據指數函數的性質，解不等式即可得到k的取值范圍．
點評：本題考查的知識點是對數函數的定義域，函數恒成立問題，其中（1）的關鍵是構造一個指數不等式，（2）的關鍵是根據已知，得到ka^x+1-a＞0對于x∈[0，10]時恒成立．