Question

1．在極坐標(biāo)系中，射線l：θ=$\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A，橢圓Γ的方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy
（Ⅰ）求點(diǎn)A的直角坐標(biāo)和橢圓Γ的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若E為橢圓Γ的下頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓Γ上任意一點(diǎn)，求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）射線l：θ=$\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A（2，$\frac{π}{6}$），可得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)；求出橢圓直角坐標(biāo)方程，即可求出橢圓Γ的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設(shè)F（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），E（0，-1），求出相應(yīng)的向量，即可求$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）射線l：θ=$\frac{π}{6}$與圓C：ρ=2交于點(diǎn)A（2，$\frac{π}{6}$），點(diǎn)A的直角坐標(biāo)（$\sqrt{3}$，1）；
橢圓Γ的方程為ρ²=$\frac{3}{1+2si{n}^{2}θ}$，直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）；
（Ⅱ）設(shè)F（$\sqrt{3}$cosθ，sinθ），
∵E（0，-1），
∴$\overrightarrow{AE}$=（-$\sqrt{3}$，-2），$\overrightarrow{AF}$=（$\sqrt{3}$cosθ-$\sqrt{3}$，sinθ-1），
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$=-3cosθ+3-2（sinθ-1）=$\sqrt{13}$sin（θ+α）+5，
∴$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{AF}$的取值范圍是[5-$\sqrt{13}$，5+$\sqrt{13}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的轉(zhuǎn)化，考查向量的數(shù)量積公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．