解:(Ⅰ)由f(x)=x
2-(a+2)x+alnx,可知,函數(shù)定義域為{x|x>0},
且f′(x)=2x-(a+2)+
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.由題意,f′(2)=4-(a+2)+
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=1,
解得a=2.…(4分)
(Ⅱ)f′(x)=2x-(a+2)+
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=
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(x>0).
令f′(x)=0,得x
1=1,x
2=
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.
(1)當(dāng)a≤0時,
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≤0,令f′(x)>0,得x>1;
令f′(x)<0,得0<x<1.
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞).
(2)當(dāng)0<
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<2,即0<a<2時,令f′(x)>0,得0<x<
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或x>1.
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,
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),(1,+∞).
令f′(x)<0,得
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<x<1.
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(
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,1).
(3)當(dāng)
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=1,即a=2時,f′(x)≥0恒成立,則函數(shù)
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+∞).
(4)當(dāng)
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>1,即a>2時,令f′(x)>0,得0<x<1或x>
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,
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),(
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,+∞).
令f′(x)<0,得1<x<
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.
則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,
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).…(13分)
分析:(Ⅰ)對函數(shù)f(x)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求f(x)的圖象在點(2,f(2))處的切線斜率k,結(jié)合已知可求a
(II)先求函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),要判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,需要判斷導(dǎo)數(shù)f′(x)的正負,分類討論:分(1)當(dāng)a≥0時,(2)當(dāng)0<a<2時,(3)當(dāng)a=2時,(4)當(dāng)a>2時四種情況分別求解.
點評:本題主要考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求解,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,體現(xiàn)了分類討論思想的應(yīng)用.