已知函數(shù)f(x)=
13
x3-x2+ax+b
的圖象在點x=0處的切線方程為y=3x-2.
(Ⅰ)求實數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)設(shè)f′(x)≥6,求此不等式的解集.
分析:(Ⅰ)先把x=0代入切線方程,求出的y值為切點的縱坐標,確定出切點坐標,把切點坐標代入f(x)中即可求出b的值,然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),把x=0代入導(dǎo)函數(shù)中,令求出的導(dǎo)函數(shù)值等于切線方程的斜率3,即可求出a的值;
(Ⅱ)把第一問中求出的a與b的值代入f(x)的導(dǎo)函數(shù)中,確定出導(dǎo)函數(shù)解析式,令導(dǎo)函數(shù)等于等于6,得到關(guān)于x的一元二次不等式,求出不等式的解集即可.
解答:解:(Ⅰ)把x=0代入y=3x-2中,得:y=-2,,則切點坐標為(0,-2),
把(0,-2)代入f(x)中,得:b=-2,
求導(dǎo)得:f′(x)=x2-2x+a,把x=0代入得:f′(0)=a,
又切線方程的斜率k=3,則a=3;
(Ⅱ)把a=3代入導(dǎo)函數(shù)得:f′(x)=x2-2x+3,
代入不等式得:x2-2x+3≥6,
變形得:(x-3)(x+1)≥0,
可化為:
x-3≥0
x+1≥0
x-3≤0
x+1≤0

解得:x≤-1或x≥3,
則原不等式的解集為(-∞,-1]∪[3,+∞).
點評:此題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某地切線方程的斜率,以及一元二次不等式的解法.要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法則,采用轉(zhuǎn)化的思想求不等式的解集.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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