Question

20．（1）若拋物線的焦點是橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$左頂點，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若某雙曲線與橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$共焦點，且以$y=±\sqrt{3}x$為漸近線，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析 （1）求出橢圓的左頂點，設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），可得焦點，解方程即可得到所求；
（2）求得橢圓的焦點，可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a，b＞0），求得漸近線方程，由題意可得a，b的方程組，解方程可得a，b，進而得到雙曲線的方程．

解答 解：（1）橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$左頂點為（-8，0），
設(shè)拋物線的方程為y²=-2px（p＞0），
可得-$\frac{p}{2}$=-8，
解得p=16，
則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=-32x；
（2）橢圓$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{16}=1$的焦點為（-4$\sqrt{3}$，0），（4$\sqrt{3}$，0），
可設(shè)雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，（a，b＞0），
則a²+b²=48，
由漸近線方程y=±$\frac{a}$x，
可得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，
解得a=2$\sqrt{3}$，b=6，
則雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{36}$=1．

點評 本題考查拋物線和雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數(shù)法，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．