Question

等比數列{a_n}的前n項和為S_n，若2S₄=S₅+S₆，則數列{a_n}的公比的值為

 

．

Answer 1

考點：等比數列的性質

專題：等差數列與等比數列

分析：先假設q=1，分別利用首項表示出前4、5、及6項的和，得到已知的等式不成立，矛盾，所以得到q不等于1，然后利用等比數列的前n項和的公式化簡2S₄=S₅+S₆得到關于q的方程，根據q不等于0和1，求出方程的解，即可得到q的值．

解答： 解：若q=1，則有S₄=4a₁，S₅=5a₁，S₆=6a₁．
但a₁≠0，即得2S₄≠S₅+S₆，與題設矛盾，q≠1．
又依題意2S₄=S₅+S₆得：

a1(1-q5)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

=

2a1(1-q4)

1-q

，
整理得q⁴（q²+q-2）=0．
由q≠0得方程q²+q-2=0．
（q+2）（q-1）=0，
∵q≠1，q-1≠0，
∴q+2=0
∴q=-2．
故答案為：-2．

點評：本小題主要考查等比數列的基礎知識，邏輯推理能力和運算能力，是一道綜合題．