Question

已知f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)任意的x＞0，y＞0都滿足f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若x＞0，證明f（x²）=2f（x）；
（3）若f（3）=1，解不等式f（x+3）-f（

1

x-1

）＜2．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）利用賦值法，令x=y=1，即可求出f（1）=0，
（2）先令y=

1

x

，代入化簡(jiǎn)即可證明，
（3）先求出f（9）=2，再化簡(jiǎn)不等式，根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上的增函數(shù)，構(gòu)造不等式組，解得即可

解答： 解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0；
（2）令y=

1

x

，
∴f（

x

y

）=f（

x

1 x

）=f（x²）=f（x）-f（

1

x

）=f（x）-f（1）+f（x）=2f（x）
（3）由（2）得，f（3²）=f（9）=2f（3）=2
∵f（x+3）-f（

1

x-1

）＜2．
∴f[（x+3）（x-1）]=f（x²+2x-3）＜f（9）
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴

x+3＞0 x-1＞0 x2+2x-3＜9

解得1＜x＜-1+

13

所以不等式的解集為（1，-1+

13

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法，突出考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用與解不等式組的能力，屬于中檔題．