Question

6．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），若不等式$\frac{4}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n}$+ta_n≥0恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-6，+∞）．

Answer 1

分析 對(duì)a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*）等號(hào)兩端取倒數(shù)，整理可得即$\frac{1}{（n+1{）a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{na}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1{•a}_{1}}$=2，可判斷數(shù)列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，從而可求得a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．依題意，可得-t≤$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1恒成立，構(gòu)造函數(shù)h（n）=$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1，可求得其最小值，從而可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n{a}_{n}}{（n+1）（n{a}_{n}+1）}$（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{（n+1）{na}_{n}+（n+1）}{{na}_{n}}$=（n+1）+$\frac{n+1}{{na}_{n}}$，
即$\frac{1}{（n+1{）a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{na}_{n}}$=1，又$\frac{1}{1{•a}_{1}}$=2，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{na}_{n}}$}是以2為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{na}_{n}}$=2+（n-1）=n+1，
∴a_n=$\frac{1}{n（n+1）}$．
∵不等式$\frac{4}{{2}^{n}}$+$\frac{1}{n}$+ta_n≥0恒成立，
∴-t≤$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1恒成立，
令h（n）=$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1，
則-t≤h（n）_min．
∵h(yuǎn)（1）=4+1+1=6，
h（2）=6+2+1=9，
h（3）=6+3+1=10，
h（4）=5+4+1=10，
當(dāng)n≥5時(shí)，n+1≥6，h（n）＞6，
∴h（n）_min=6．
∴-t≤6，
∴t≥-6．
故答案為：[-6，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，突出考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與構(gòu)造函數(shù)思想的綜合運(yùn)用，求得h（n）=$\frac{4n（n+1）}{{2}^{n}}$+n+1的最小值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，亮點(diǎn)，屬于難題．