Question

下面幾個命題中，真命題的個數(shù)是（　�。�
①命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x；
②“方程x+

1

x

=a有解”是“a≥2”的必要不充分條件；
③設(shè)函數(shù)f（x）=

ln(2x-1)，x＞2 -x2+2x，x≤2

，總存在x∈（-∞，-1）使得f（x）≥0成立；
④若a，b∈[0，2]，則不等式a²+b²＜

1

4

成立的概率

π

16

．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,概率與統(tǒng)計,簡易邏輯

分析：①特稱命題的否定要特稱改全稱，同時否定結(jié)論，正確；②利用基本不等式求解“方程x+

1

x

=a有解”然后判斷充要條件；③x∈（-∞，-1）時，f（x）=-x²+2x，
在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，f（x）≥0不恒成立；④考察幾何概型，若a，b∈[0，2]圍成邊長為2的正方形，則不等式a²+b²＜

1

4

圍成以原點(diǎn)為圓心，半徑為

1

2

的圓（不包括圓周部分）第一象限部分，求面積比．

解答： 解：①命題“?x₀∈R，x₀²+1＞3x₀”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，正確；
②當(dāng)x＞0時，x+

1

x

≥2

x× 1 x

=2；當(dāng)x＜0時，x+

1

x

=-[（-x）+

1

(-x)

]≤-2，
則“方程x+

1

x

=a有解”?“a≥2，或a≤-2”是“a≥2”的必要不充分條件，正確；
③函數(shù)f（x）=

ln(2x-1)，x＞2 -x2+2x，x≤2

，當(dāng)x∈（-∞，-1），f（x）=-x²+2x是二次函數(shù)，圖象開口向下，對稱軸為x=1，在（-∞，-1）上單調(diào)遞增，f（x）∈（-∞，-3），③錯誤；
④a，b∈[0，2]，為直線x=0，x=2，y=0，y=2圍成的正方形區(qū)域，面積為4；
a²+b²＜1/4為以原點(diǎn)為圓心，半徑為

1

2

的圓（不包括圓周部分）而a≥0，b≥0，只有第一象限，它面積為

π( 1 2 )2

4

=

π

16

∴根據(jù)幾何概型得P=

π 16

4

=

π

64

，④錯誤；
故選：B．

點(diǎn)評：綜合考察了特稱命題的否定，不等式，充要條件，分段函數(shù)，二次函數(shù)，幾何概型，知識點(diǎn)較多，容易出錯，屬于難題．