Question

若P、q是方程x2-

10

x+t2=0的兩實根，且p，p-q，q成等比數列．
（1）求正數t的值．
（2）設an=

1

n(n+1)

，S_n為數列{a_n}的前n項和．求證：log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

Answer 1

分析：（1）根據P、q是方程x2-

10

x+t2=0的兩實根，利用韋達定理可求得p+q，pq，p，p-q，q成等比數列，根據等比中項的定義可得（p-q）²=pq，然后配湊成韋達定理的形式，即可求得正數t的值；
（2）根據an=

1

n(n+1)

，利用裂項相消法可求其前n項和S_n，再利用數列的單調性可證log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

解答：解：（1）∵P、q是方程x2-

10

x+t2=0的兩實根，
∴p+q=

10

，pq=t²，
∵p，p-q，q成等比數列，
∴（p-q）²=pq，即（p+q）²=5pq，
∴10=5t²，
∵t＞0，∴t=

2

．
（2）∵an=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S_n=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1=

1

2

logt2，
而1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

=log₂t，
∴log2t≤Sn＜

1

2

logt2．

點評：此題是個中檔題．考查韋達定理的應用和等比數列的性質，以及裂項相消法求數列的前n項和，體現了方程的思想．以及學生綜合運用知識解決問題的能力．