Question

1．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+x，x≤1}\\{2x-2，x＞1}\end{array}\right.$，若函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個零點x₁，x₂，x₃，求x₁x₂x₃的取值范圍．

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，用m分別表示出x₁，x₂，x₃的值，根據(jù)條件表示成關(guān)于m的一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：由g（x）=f（x）-m=0得f（x）=m，
設(shè)x₁＜x₂＜x₃，
作出函數(shù)f（x）的圖象，
則當x≤1時，f（x）=-x²+x=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，拋物線的對稱軸為x=$\frac{1}{2}$，
由2x-2=$\frac{1}{4}$得x=$\frac{9}{8}$，
則1＜x₃＜$\frac{9}{8}$，
若函數(shù)g（x）=f（x）-m有三個零點，
則0＜m＜$\frac{9}{8}$，
由2x₃-2=m得x₃=$\frac{m+2}{2}$，
由-x²+x=m得x²-x+m=0，
則x₁x₂=m，
則x₁x₂x₃=m•$\frac{m+2}{2}$=$\frac{1}{2}$（m+1）²-$\frac{1}{2}$，
設(shè)h（m）=$\frac{1}{2}$（m+1）²-$\frac{1}{2}$，
∵0＜m＜$\frac{9}{8}$，
∴h（0）＜h（x）＜h（$\frac{9}{8}$）
即0＜h（x）＜$\frac{225}{128}$，
即x₁x₂x₃的取值范圍是（0，$\frac{225}{128}$）．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合先判斷m的取值范圍，然后用m分別表示出x₁，x₂，x₃，然后利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解是解決本題的關(guān)鍵．