【題目】已知函數(shù)f(x)=2lnx+ ﹣2lna﹣k
(1)若k=0,證明f(x)>0
(2)若f(x)≥0,求k的取值范圍;并證明此時f(x)的極值存在且與a無關.
【答案】
(1)證明:若k=0,f′(x)= ﹣
=
,
x∈(0, ),f′(x)≥0,f(x)遞減,
x∈[ ,+∞)時,f′(x)≤0,f(x)遞增,
故f(x)min=f( )=2ln
+2﹣2lna=2(1﹣ln2)>0,得證
(2)證明:若f(x)=2lnx+ ﹣2lna﹣k
≥0,
變形得2ln +
≥k
,
令 =t(t>0),得
≥k,
g(t)= ,g′(t)=
,
令k(t)=t﹣tlnt﹣1,k′(t)=﹣lnt,
得k(t)=在(0,1]遞增,在(1,+∞)遞減,
故k(t)≤0,g′(t)≤0,
g(t)在(0,+∞)遞減,t→+∞,g(t)→0,
故g(t)>0,k≤0,
下面證明f(x)的極值存在且與a無關,
①k=0,f′(x)= ,f(x)極小值=f(
)=2ln
+2﹣2lna=2(1﹣ln2)與a無關;
②k<0,f′(x)= ,(其中x1=
<0,x2=
>0),
故x﹣x1>0且f(x)在x2處取極小值,
f(x2)=2ln +
﹣k
,
∵x2= ,∴
=
是關于k的函數(shù),(與a無關),
故f(x2)與a無關
【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù),解關于導函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的單調區(qū)間,從而求出函數(shù)的最小值證明結論即可;(2)問題轉化為2ln +
≥k
,令
=t(t>0),得
≥k,令g(t)=
,根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的相關知識,掌握一般的,函數(shù)的單調性與其導數(shù)的正負有如下關系: 在某個區(qū)間內,(1)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調遞增;(2)如果
,那么函數(shù)
在這個區(qū)間單調遞減,以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解,了解求函數(shù)
的極值的方法是:(1)如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極大值(2)如果在
附近的左側
,右側
,那么
是極小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在
上的偶函數(shù),已知
時,
.
(1)畫出偶函數(shù)的圖像;
(2)指出函數(shù)的單調遞增區(qū)間及值域;
(3)若直線與函數(shù)
恰有
個交點,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某測試團隊為了研究“飲酒”對“駕車安全”的影響,隨機選取100名駕駛員先后在無酒狀態(tài)、酒后狀態(tài)下進行“停車距離”測試.測試的方案:電腦模擬駕駛,以某速度勻速行駛,記錄下駕駛員的“停車距離”(駕駛員從看到意外情況到車子完全停下所需要的距離).無酒狀態(tài)與酒后狀態(tài)下的試驗數(shù)據(jù)分別列于表1和表2. 表1
停車距離d(米) | (10,20] | (20,30] | (30,40] | (40,50] | (50,60] |
頻數(shù) | 26 | a | b | 8 | 2 |
表2
平均每毫升血液酒精含量x毫克 | 10 | 30 | 50 | 70 | 90 |
平均停車距離y米 | 30 | 50 | 60 | 70 | 90 |
已知表1數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為26,回答以下問題.
(Ⅰ)求a,b的值,并估計駕駛員無酒狀態(tài)下停車距離的平均數(shù);
(Ⅱ)根據(jù)最小二乘法,由表2的數(shù)據(jù)計算y關于x的回歸方程 ;
(Ⅲ)該測試團隊認為:駕駛員酒后駕車的平均“停車距離”y大于(Ⅰ)中無酒狀態(tài)下的停車距離平均數(shù)的3倍,則認定駕駛員是“醉駕”.請根據(jù)(Ⅱ)中的回歸方程,預測當每毫升血液酒精含量大于多少毫克時為“醉駕”?
(附:對于一組數(shù)據(jù)(x1 , y1),(x2 , y2),…,(xn , yn),其回歸直線 的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖半圓柱OO1的底面半徑和高都是1,面ABB1A1是它的軸截面(過上下底面圓心連線OO1的平面),Q,P分別是上下底面半圓周上一點.
(1)證明:三棱錐Q﹣ABP體積VQ﹣ABP≤ ,并指出P和Q滿足什么條件時有AP⊥BQ
(2)求二面角P﹣AB﹣Q平面角的取值范圍,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】曲線C:ρ2﹣2ρcosθ﹣8=0 曲線E: (t是參數(shù))
(1)求曲線C的普通方程,并指出它是什么曲線.
(2)當k變化時指出曲線K是什么曲線以及它恒過的定點并求曲線E截曲線C所得弦長的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD為正方形,平面AED⊥平面ABCD,AB= EA=
ED,EF∥BD
(I)證明:AE⊥CD
(II)在棱ED上是否存在點M,使得直線AM與平面EFBD所成角的正弦值為 ?若存在,確定點M的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有一個偶數(shù)組成的數(shù)陣排列如下:
2 4 8 14 22 32 …
6 10 16 24 34 … …
12 18 26 36 … … …
20 28 38 … … … …
30 40 … … … … …
42 … … … … … …
… … … … … … …
則第20行第4列的數(shù)為( )
A. 546 B. 540 C. 592 D. 598
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}中,若存在ak , 使得“ak>ak﹣1且ak>ak+1”成立(其中k≥2,k∈N*),則稱ak為{an}的一個H值.現(xiàn)有如下數(shù)列:①an=1﹣2n;②an=sinn;③an= ④an=lnn﹣n,則存在H值的數(shù)列有( )個.
A.1
B.2
C.3
D.4
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