Question

已知函數f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+a（a為常數），直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為l．
（Ⅰ）求直線l的方程及a的值；
（Ⅱ）當k＞0時，試討論方程f（1-x²）-g（x）=k的解的個數．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,根的存在性及根的個數判斷

專題：分類討論,轉化思想,導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，再用點斜式寫出切線方程，化成斜截式即可，再根據直線l與函數f（x）、g（x）的圖象都相切建立等量關系，即可求出a的值；
（Ⅱ）由f（1+x²）-g（x）=k，設y₁=ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

，y₂=k，通過導數，求出函數y₁的單調區(qū)間和極值，借助圖象，對k討論，即可得到解的個數．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=

1

x

，f′（1）=1，故直線l的斜率為1，
切點為（1，f（1）），即（1，0）
∴直線l：y=x-1 ①
又∵g′（x）=x，直線l：y=x-1與函數g（x）的圖象都相切，
∴令g′（x）=1，解得x=1，即切點為（1，

1

2

+a），
∴直線l：y-（

1

2

+a）=x-1，即y=x-

1

2

+a②
比較①和②的系數得-

1

2

+a=-1，∴a=-

1

2

．
（Ⅱ）由f（1+x²）-g（x）=k即ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

=k，
設y₁=ln（1+x²）-

1

2

x²+

1

2

，y₂=k，
y₁′=

2x

1+x2

-x=

x(1-x)(x+1)

1+x2

，
令y₁′=0，可得x=0，-1，1．
當x＜-1時，y₁′＞0，函數y₁遞增；當-1＜x＜0時，y₁′＜0，函數y₁遞減；
當0＜x＜1時，y₁′＞0，函數y₁遞增；當x＞1時，y₁′＜0，函數y₁遞減．
可得x=-1和1，函數y₁取得極大值ln2，x=0時，函數y₁取得極小值

1

2

．
由函數y₁在R上各區(qū)間上的增減及極值情況，可得
（1）當0＜k＜

1

2

時有兩個解；
（2）當k=

1

2

時有3個解；
（3）當

1

2

＜k＜ln2時有4個解
（4）當k=ln2時有2個解；
（5）當k＞ln2時無解．

點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了函數與方程轉化的思想，運用分類討論和數形結合的思想方法是解題的關鍵，屬于中檔題．