Question

已知實(shí)數(shù)x、y滿足

y≥1 y≤2x-1 x+y≤4

，則目標(biāo)函數(shù)z=

x+4y+5

x+1

的最大值與最小值的和是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義即可得到結(jié)論．

解答： 解：z=

x+4y+5

x+1

=

x+1+4(y+1)

x+1

=1+4×

y+1

x+1

，
設(shè)k=

y+1

x+1

，則k的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)D（-1，-1）的斜率，
則z=1+4k，
作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
則DB的斜率最大，DC的斜率最小，
由

y=1 x+y=4

，解得

x=3 y=1

，即C（3，1），此時(shí)k=

1+1

3+1

=

1

2

，
由

y=2x-1 x+y=4

，解得

x= 5 3 y= 7 3

，即B（

5

3

，

7

3

），此時(shí)k=

7 3 +1

5 3 +1

=

5

4

，
即

1

2

≤k≤

5

4

，
則2≤4k≤5，3≤1+4k≤6，
故3≤z≤6，
則z的最大值與最小值的和為3+6=9，
故答案為：9

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及直線斜率的計(jì)算，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．