Question

9．（1）求定積分${∫}_{0}^{1}$（2x+e^x）dx的值；
（2）若關(guān)于x的不等式${x^2}+\frac{1}{x}-m≥0$對任意x$∈（{-∞，-\frac{1}{2}}]$恒成立，求的m取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)定積分的計算法則計算即可，
（2）分類參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可

解答 解：（1）：${∫}_{0}^{1}$（2x+e^x）dx=（x²+e^x）|${\;}_{0}^{1}$=（1+e）-（0-1）=2+e，
（2）∵關(guān)于x的不等式${x^2}+\frac{1}{x}-m≥0$對任意x$∈（{-∞，-\frac{1}{2}}]$恒成立，
∴m≤x²+$\frac{1}{x}$在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上恒成立，
設(shè)f（x）=x²+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=2x-$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0恒成立，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{4}$-2=-$\frac{7}{4}$，
∴m≤-$\frac{7}{4}$，
故m取值范圍為（-∞，-$\frac{7}{4}$]

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上最值的應(yīng)用，解題時要認真審題，仔細解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．