Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）有兩個零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,導數在最大值、最小值問題中的應用

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求函數的定義域和導數，利用函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，得到f′（x）≥0，即可求實數a的取值范圍；
（2）求出函數的極值，利用函數f（x）有兩個零點，建立條件關系即可得到結論．，

解答： 解：（1）函數的定義域為（0，+∞），
∵f（x）=

1-x

ax

+lnx，
∴f′（x）=

-ax-(1-x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

，
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴f′（x）=

a2x-a

a2x2

≥0恒成立，即a²x-a=a（ax-1）≥0恒成立，
若a＞0時，則等價為ax≥1，即a≥1，
若a＜0時，則等價為ax≤1，則a≤

1

x

，則a＜0，
綜上所述：a∈（-∞，0）∪[1，+∞）．
（2）f′（x）=

-ax-(1-x)a

a2x2

+

1

x

=

a2x-a

a2x2

=

ax-1

ax2

，定義域為（0，+∞），
當a＜0時，ax²＜0，ax-1＜0，此時f′（x）=

ax-1

ax2

＞0，f（x）在（0，+∞）上為增函數，不可能有兩個零點．
當a＞0時，令f′（x）=

ax-1

ax2

=0，解得x=

1

a

，則f（x）在（0，

1

a

）上為減函數，
在（

1

a

，+∞）上為增函數，
即f（

1

a

）=

1- 1 a

a• 1 a

+ln

1

a

=1-

1

a

-lna＜0即可，
令g（a）=1-

1

a

-lna，則g′（a）=

1

a2

-

1

a

=

1-a

a2

=0，
解得a=1，即g（a）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數，
又g（1）=1-1-ln1=0，則1-

1

a

-lna＜0等價為a∈（0，1）∪（1，+∞）．
綜上所述：a∈（0，1）∪（1，+∞）．

點評：本題主要考查函數單調性和導數之間的關系，要求熟練掌握導數的應用．綜合性較強，難度較大．