Question

8．已知命題P：已知函數(shù)f（x）=（2-a）x為R上的減函數(shù)，命題q：函數(shù)y=lg（ax²-ax+1）的定義域為R，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題P：已知函數(shù)f（x）=（2-a）x為R上的減函數(shù)，則2-a＜0，解得a．命題q：函數(shù)y=lg（ax²-ax+1）的定義域為R，可得a=0，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a范圍．如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q必然一真以假，即可得出．

解答 解：命題P：已知函數(shù)f（x）=（2-a）x為R上的減函數(shù)，則2-a＜0，解得a＞2．
命題q：函數(shù)y=lg（ax²-ax+1）的定義域為R，
∴a=0，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△={a}^{2}-4a＜0}\end{array}\right.$，解得a=0或0＜a＜4，即0≤a＜4．
如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q必然一真以假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{a＜0或a≥4}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{0≤a＜4}\end{array}\right.$，
解得a≥4或0≤a≤2．
∴實數(shù)a的取值范圍是[0，2]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、簡易邏輯的判斷方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．