Question

9．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，E為棱PB的中點(diǎn)，O為AC與BD的交點(diǎn)，
（Ⅰ）證明：PD∥平面EAC
（Ⅱ）證明：平面EAC⊥平面PBD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得PD∥OE，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（Ⅱ）已知得AC⊥PD，AC⊥BD，由此能證明平面EAC⊥平面PBD．

解答 證明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，O是AC與BD的交點(diǎn)
∴O是BD的中點(diǎn)；
連接EO．
∵E是PB中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)
∴EO∥PD．
根據(jù)直線與平面平行的判定定理可證明：
∴PD∥平面EAC．
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥PD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
又∵PD∩BD=D，AC⊥平面PBD．
而AC?平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的證明，直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．