Question

20．數列{b_n}（b_n＞0）的首項為1，且前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．
（1）求{b_n}的通項公式；
（2）若數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}前n項和為T_n，問T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數n是多少？

Answer 1

分析 （1）數列{b_n}（b_n＞0）的首項為1，前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．可得$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，利用等差數列的通項公式可得S_n，再利用遞推關系可得b_n．
（2）$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．利用“裂項求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵數列{b_n}（b_n＞0）的首項為1，前n項和S_n滿足S_n-S_n-1=$\sqrt{{S}_{n}}$+$\sqrt{{S_{n-1}}}$（n≥2）．
∴$\sqrt{{S}_{n}}$-$\sqrt{{S}_{n-1}}$=1，∴數列$\{\sqrt{{S}_{n}}\}$構成一個首相為1公差為1的等差數列，
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=1+（n-1）×1=n，∴S_n=n²．
∴n≥2時，b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．（n=1時也成立）．
∴b_n=2n-1．
（2）$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴數列{$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$}前n項和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{n}{2n+1}$．
T_n＞$\frac{1000}{2009}$即：$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{1000}{2009}$，解得n＞$\frac{1000}{9}$．
滿足T_n＞$\frac{1000}{2009}$的最小正整數為112．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其求和公式、“裂項求和”方法、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．