Question

（本小題滿分16分）

數(shù)列的前n項(xiàng)和為，存在常數(shù)A，B，C，使得對任意正整數(shù)n都成立。

（１）  若數(shù)列為等差數(shù)列，求證：3A－B＋C＝０；

（２）  若設(shè)數(shù)列的前ｎ項(xiàng)和為，求；

（３）  若C=0，是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，設(shè)，求不超過P的最大整數(shù)的值。

 

Answer 1

【答案】

⑴見解析；⑵．⑶不超過的最大整數(shù)為．

【解析】本試題主要是考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，以及數(shù)列的求和，和運(yùn)用數(shù)列來證明不等式的綜合運(yùn)用。

（1）利用已知條件中通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系式，得到前幾項(xiàng)，結(jié)合等差數(shù)列的定義得到關(guān)系的證明。

（2）利用第一問的結(jié)論，表示數(shù)列的通項(xiàng)公式，分析特點(diǎn)，運(yùn)用錯(cuò)位相減法等求解前n項(xiàng)和。

（3）根據(jù)等差數(shù)列得到需要求解的和式，得到結(jié)論。

解：⑴因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501491011899852_DA.files/image004.png">為等差數(shù)列，設(shè)公差為，由，

得，

即對任意正整數(shù)都成立．

所以所以．       ………………………………4分

⑵ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501491011899852_DA.files/image012.png">，所以，

當(dāng)時(shí)，，

所以，即，

所以，而，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以． …………… 7分

于是．所以①，，②

由①②，

得．

所以．…………………………………………………………………10分

⑶ 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415011645182887/SYS201208241501491011899852_DA.files/image004.png">是首項(xiàng)為的等差數(shù)列，由⑴知，公差，所以．

而

，……………………………14分

所以，

所以，不超過的最大整數(shù)為．………………………………………………16分