Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-1nx，
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=2x-1nx，
∴f′（x）=2-=（x＞0），
當(dāng)0＜x＜，f′（x）＜0，f（x）=2x-1nx在（0，）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞，f′（x）＞0，f（x）=2x-1nx在（，+∞）上單調(diào)遞增；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，），單調(diào)遞增區(qū)間為（，+∞）；
（2）依題意，∵x＞0，
f（x）=ax-1nx＞0恒成立
?ax＞lnx恒成立
?a＞恒成立
?a＞．
令g（x）=，則g′（x）=，
當(dāng)0＜x＜e，g′（x）＞0，g（x）在（0，e）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞e，g′（x）＜0，g（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減；
∴g（x）_max=g（e）=．
∴a＞．
分析：（1）當(dāng)a=2，f（x）=2x-1nx，可求得f′（x），利用導(dǎo)數(shù)即可判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）將f（x）=ax-1nx＞0恒成立轉(zhuǎn)化為a＞恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=，利用導(dǎo)數(shù)可求得g（x）_max，從而求得a的范圍．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)恒成立問題，突出構(gòu)造函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的運用，屬于難題．