Question

5．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，S_n為其前n項(xiàng)和，對(duì)于任意的n∈N^*，滿足關(guān)系式2S_n=3a_n-3．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式是b_n=$\frac{1}{{（2{{log}_3}{a_n}+1）•（2{{log}_3}{a_n}+3）}}$，b_n前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有T_n＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=3a_n-1-3，2S_n=3a_n-3，兩式相減，得a_n=3a_n-1（n≥2），由此能求出a_n=3ⁿ．
（2）由log₃a_n=n，b_n=$\frac{1}{{（2{{log}_3}{a_n}+1）•（2{{log}_3}{a_n}+3）}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），利用“裂項(xiàng)求和”即可得出{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，即可證明T_n＜$\frac{1}{6}$．

解答 （1）解：當(dāng)n≥2時(shí)，有2S_n-1=3a_n-1-3，①
又2S_n=3a_n-3，②
②-①得，2（S_n-S_n-1）=2a_n=3a_n-3a_n-1，
即a_n=3a_n-1（n≥2）．
又當(dāng)n=1時(shí)，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
故數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q=3．
∴a_n=3ⁿ．
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3ⁿ；
（2）證明：log₃a_n=n，
∴b_n=$\frac{1}{{（2{{log}_3}{a_n}+1）•（2{{log}_3}{a_n}+3）}}$=$\frac{1}{（2n+1）（2n+3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
b_n前n項(xiàng)和為T_n，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{2}$[（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$）+（$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$）+…+（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）]，
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）＜$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$．
∴對(duì)于任意的正整數(shù)n，總有T_n＜$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推式的應(yīng)用及采用“裂項(xiàng)求和”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．