Question

已知圓O：x²+y²=1和拋物線(xiàn)y=x²-2上三個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C．如果直線(xiàn)AB和AC都與圓O相切．求證：直線(xiàn)BC也與圓O相切．

Answer 1

分析：求出AB、BC、AC的方程，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得（a²-1）b²+2ab+3-a²=0，（a²-1）c²+2ac+3-a²=0，由b、c為方程
（a²-1）x²+2ax+3-a²=0的兩根，求得b+c 和bc 的值，進(jìn)而求得圓心到直線(xiàn)BC的距離等于半徑，故BC也與圓O相切．

解答：證明：設(shè)A（a，a²-2），B（b，b²-2），C（c，c²-2），則 AB的方程為   （a+b）x-y-ab-2=0，
BC的方程為    （b+c）x-y-bc-2=0，AC的方程為    （a+c）x-y-ac-2=0，
∵AB為圓的切線(xiàn)，有

|ab+2|

(a+b)2+1

=1，即（a²-1）b²+2ab+3-a²=0，同理（a²-1）c²+2ac+3-a²=0，
∵b、c為方程（a²-1）x²+2ax+3-a²=0的兩根，則b+c=

2a

1-a2

  ，bc=

3-a2

a2-1

．
于是圓心到直線(xiàn)BC的距離d=

|bc+2|

(b+c)2+1

=

| 3-a2 a2-1 +2|

4a2 (1-a2)2 +1

=1，故BC也與圓O相切．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出圓心到直線(xiàn)BC的距離是解題的關(guān)鍵．