Question

【題目】（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，.

（I）求異面直線與所成角的余弦值；

（II）求證：平面；

（II）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：本小題主要考查兩條異面直線所成的角、直線與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識(shí).考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.

試題解析：（Ⅰ）如圖，由已知AD//BC，故或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角.因?yàn)锳D⊥平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得，故.

所以，異面直線AP與BC所成角的余弦值為.

（Ⅱ）證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD平面PDC，所以AD⊥PD.又因?yàn)锽C//AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，所以PD⊥平面PBC.

（Ⅲ）過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連結(jié)PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.

因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以為直線DF和平面PBC所成的角.

由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，可得.

所以，直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.