Question

經(jīng)過M（2，1）作直線L交雙曲線x2-

y2

2

=1于A、B兩點，且M為AB的中點，
（1）求直線L的方程；       
（2）求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，由x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1，得(x1+x2)(x1-x2)-

1

2

(y1+y2)(y1-y2)=0，所以kAB=

y1-y2

x1-x2

=4，由此能求出直線L的方程．
（2）把y=4x-7代入x2-

y2

2

=1消去y得14x²-56x+51=0，所以x1+x2=4，x1•x2=

51

14

，由此能求出求線段AB的長．

解答：解：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M（2，1）為AB的中點，
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）分別代入雙曲線x2-

y2

2

=1，
得x12-

y12

2

=1，x22-

y22

2

=1，
二者相減，得(x1+x2)(x1-x2)-

1

2

(y1+y2)(y1-y2)=0，
把x₁+x₂=4，y₁+y₂=2代入，得4（x₁-x₂）-（y₁-y₂）=0，
所以kAB=

y1-y2

x1-x2

=4
∴直線L的方程為y=4x-7
（2）把y=4x-7代入x2-

y2

2

=1，
消去y得14x²-56x+51=0，
∴x1+x2=4，x1•x2=

51

14

，k=4，
∴|AB|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

17(16-4× 51 14 )

=

1190

7

．
從而得|AB|=

1190

7

．

點評：本題考查直線和雙曲線的位置關系的綜合運用，考查中點弦方程的求法和弦長公式的應用．解題時要認真審題，注意點差法的靈活運用．