Question

14．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M為BB₁的中點(diǎn)，則直線MC與平面ACD₁所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，求出平面ACD₁的法向量$\overrightarrow{n}$和$\overrightarrow{MC}$的坐標(biāo)，則|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞|即為所求．

解答 解以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DD₁為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，如圖所示：
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則A（1，0，0），C（0，1，0），D₁（0，0，1），M（1，1，$\frac{1}{2}$）．
∴$\overrightarrow{AC}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{MC}$=（-1，0，-$\frac{1}{2}$）．
設(shè)平面ACD₁的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{D}_{1}}=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，設(shè)x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{MC}|}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}•\sqrt{3}}$=-$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴直線MC與平面ACD₁所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{MC}$＞|=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
故答案為：$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量與線面角的計(jì)算，屬于中檔題．