Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

+2．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若xlnx≤mx²-

1

2

在x∈[

1

e

，1]上恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數(shù)，對參數(shù)a進行討論，即可確定函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）先分離參數(shù)，構造函數(shù)，確定函數(shù)的最大值，即可求得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）定義域{x|x＞0}．（1分）f′(x)=

1

x

+

a

x2

=

x+a

x2

當a＜0時，x∈（0，-a），f'（x）＜0，f（x）單調遞減，
x∈（-a，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當a≥0時，x∈（0，+∞），f'（x）＞0，f（x）單調遞增．（4分）
（Ⅱ）由xlnx≤mx2-

1

2

，得

lnx

x

+

1

2x2

≤m．
令已知函數(shù)g(x)=

lnx

x

+

1

2x2

．（5分）g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

．
∵當a=-1時，f(x)=lnx+

1

x

+2，
∴g′(x)=

1-lnx- 1 x

x2

=

3-(lnx+ 1 x +2)

x2

．（7分）
當x∈（0，1）時，f（x）單調遞減，x∈（1，+∞）時，f（x）單調遞增．（8分）
f（x）≥f（1）=3，即lnx+

1

x

+2≥3，
∴g′(x)=

3-(lnx+ 1 x +2)

x2

≤0，
∴g（x）在x∈（0，+∞）上，g'（x）≤0，g（x）單調遞減，（9分）
在[

1

e

，1]上，g(x)≤g(

1

e

)=-e+

e2

2

，若

lnx

x

+

1

2x2

≤m恒成立，則m∈[-e+

e2

2

，+∞)．（10分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查恒成立問題，考查分離參數(shù)法的運用，解題的關鍵是確定函數(shù)的單調性，確定函數(shù)的最值．