Question

設函數f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為m．若m≥k對任意的b、c恒成立，則k的最大值是

1. A.
   1
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：函數f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為f（-1），f（1），f（b）三個中最大的一個值，然后根據b、c任意，然后取b=0，c=與b=0，c=進行判定，假設f（b）=|b²+c|=m，f（-1）≤m，f（1）≤m，從而求出m的范圍，即可求出所求．
解答：函數f（x）=|-x²+2bx+c|，x∈[-1，1]的最大值為f（-1），f（1），f（b）三個中最大的一個值
而f（-1）=|c-2b-1|，f（1）=|c+2b-1|，f（b）=|b²+c|
∵m≥k對任意的b、c恒成立，
∴當b=0，c=時也成立即f（x）=|-x²+|，x∈[-1，1]的最大值為
故可排除選項A
當b=0，c=時也成立即f（x）=|-x²+|，x∈[-1，1]的最大值為
假設f（b）=|b²+c|=m，則c=m-b²或c=-m-b²
f（-1）=|c-2b-1|≤m，f（1）=|c+2b-1|≤m，
∴（b+1）²≤2m，（b-1）²≤2m，將兩式相加得：2b²+2≤4m
即m≥，而m≥k，k的最大值是
故選B．
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及二次函數的性質和排除法的運用，屬于難題．