Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且c=10，又知

cosA

cosB

=

b

a

=

4

3

，求a，b及△ABC的內(nèi)切圓的面積．

Answer 1

考點：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：有余弦定理知可解得c²=a²+b²，c=10，a=

3

4

b，從而解得b=8，a=6．因為c²=a²+b²△ABC為直角三角形，再根據(jù)內(nèi)切圓的半徑等于兩條直角邊的和與斜邊的差的一半進行計算，即可求得半徑，然后利用圓的面積公式求解．

解答： 解：有余弦定理知

cosA

cosB

=

b

a

⇒

b2+c2-a2 2bc

a2+c2-b2 2ac

=

b

a

⇒c²（a²-b²）=（a²+b²）（a²-b²），

b

a

=

4

3

⇒a=

3

4

b，a²-b²≠0．
故可解得c²=a²+b²，c=10，a=

3

4

b，從而有100=

25

16

b2，解得b=8，a=6．
因為c²=a²+b²△ABC為直角三角形，其內(nèi)切圓半徑為

6+8-10

2

=2，故可得△ABC的內(nèi)切圓的面積為4π．

點評：本題主要考察了正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用，考察了三角形內(nèi)切圓的面積的求法，屬于中檔題．