Question

已知P(1，4

3

)為角α的終邊上一點(diǎn)，且sinα•sin(

π

2

-β)+cosα•sin(π+β)=

3 3

14

，0＜β＜α＜

π

2

，則角β等于（　　）

• A．

  π

  12

• B．

  π

  6

• C．

  π

  4

• D．

  π

  3

Answer 1

分析：由已知，得出 sin（α-β）=

3 3

14

，將β角化為β=α-（α-β），根據(jù)和差角公式，求出β的某種三角函數(shù)值，再求出β．

解答：解：∵|OP|=7，∴sinα=

4 3

7

，cosα=

1

7

．
由已知，sinα•sin(

π

2

-β)+cosα•sin(π+β)=

3 3

14

，
根據(jù)誘導(dǎo)公式即為sinαcosβ-cosαsinβ=

3 3

14

，
即sin（α-β）=

3 3

14

，
∵0＜β＜α＜

π

2

∴0＜α-β＜

π

2

，∴cos（α-β）=

1-sin2(α-β)

=

13

14

，
∴sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）
=

4 3

7

×

13

14

-

1

7

×

3 3

14

=

3

2

，
因?yàn)棣聻殇J角，
所以角β=

π

3

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、和差角公式的應(yīng)用：三角式求值、求角．運(yùn)用和差角公式時(shí)，角的轉(zhuǎn)化非常關(guān)鍵，注意要將未知角用已知角來表示．常見的角的代換形式：β=α-（α-β），2α=（α-β）+（α+β）等．