Question

3．下列命題：①函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x的最小正周期是π；
 ②在等比數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，a₅=4，則a₃=±2；
③設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x+m}{x+1}$（m≠1），若f（$\frac{2t-1}{t}$）有意義，則t≠0；
④平面四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AC}$=0，則四邊形ABCD是菱形．
其中所有的真命題是：（　�。�

• A． ①②④
• B． ①④
• C． ③④
• D． ①②③

Answer 1

分析 ①利用余弦的倍角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的周期公式進(jìn)行求解即可，
②根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，
③根據(jù)函數(shù)定義域的性質(zhì)建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解，
④根據(jù)向量相等以及向量數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①函數(shù)f（x）=sin²x-cos²x=-cos2x，則函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{2}$=π；故①正確，
 ②在等比數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，a₅=4，則a₃²=a₁a₅=4，則a₃=±2；故②正確，
③設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x+m}{x+1}$（m≠1），則函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1}，
若f（$\frac{2t-1}{t}$）有意義，則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2t-1}{t}≠-1}\\{t≠0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{t≠\frac{1}{3}}\\{t≠0}\end{array}\right.$，則t≠0且t$≠\frac{1}{3}$；故③錯(cuò)誤，
④平面四邊形ABCD中，$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{0}$，
則$\overrightarrow{AB}$=-$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{DC}$，
則四邊形ABCD為平行四邊形，
∵（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\overrightarrow{DB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
則四邊形ABCD的對(duì)角線垂直，
則四邊形ABCD是菱形．故④正確，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較多，考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力．