Question

如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（ABCD）的池底水平鋪設污水凈化管道（Rt△FHE，H是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好．設計要求管道的接口H是AB的中點，E，F分別落在線段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10

3

米，記∠BHE=θ．
（1）試將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數，并寫出定義域；
（2）若sinθ+cosθ=

2

，求此時管道的長度L；
（3）當θ取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度．

Answer 1

分析：（1）由∠BHE=θ，H是AB的中點，易得EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)，由污水凈化管道的長度L=EH+FH+EF，則易將污水凈化管道的長度L表示為θ的函數．
（2）若sinθ+cosθ=

2

，結合（1）中所得的函數解析式，代入易得管道的長度L的值．
（3）污水凈化效果最好，即為管道的長度最長，由（1）中所得的函數解析式，結合三角函數的性質，易得結論．

解答：解：（1）EH=

10

cosθ

，FH=

10

sinθ

，
EF=

EH2+FH2

=

10

sinθcosθ

(0＜θ＜

π

2

)．
由于BE=10tanθ≤10

3

，AF=

10

tanθ

≤10

3

，
所以

3

3

≤tanθ≤

3

，
所以θ∈[

π

6

，

π

3

]．
所以L=

10

cosθ

+

10

sinθ

+

10

sinθcosθ

，θ∈[

π

6

，

π

3

]．
（2）當sinθ+cosθ=

2

時，
sinθcosθ=

1

2

，
L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

=20(

2

+1)（米）．
（3）L=

10(sinθ+cosθ+1)

sinθcosθ

，
設sinθ+cosθ=t，
則sinθcosθ=

t2-1

2

，
所以L=

20

t-1

．
由于θ∈[

π

6

，

π

3

]，
所以t=sinθ+cosθ=

2

sin(θ+

π

4

)∈[

1+ 3

2

，

2

]．
由于L=

20

t-1

在[

1+ 3

2

，

2

]上單調遞減，
所以當t=

3 +1

2

即θ=

π

6

或θ=

π

3

時，
L取得最大值20(

3

+1)米．
答：當θ=

π

6

或θ=

π

3

時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為20(

3

+1)米．

點評：本題考查的知識點是在實際問題中建立三角函數模型及解三角形，根據已知條件構造出L關于θ的函數，是解答本題的關鍵．