Question

在四棱錐P-OABC中，PO⊥底面OABC，∠OCB=60°，∠AOC=∠ABC=90°，且OP=OC=BC=2．
（1）若D是PC的中點，求證：BD∥平面AOP；
（2）求二面角P-AB-O的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空間直角坐標系，求出平面AOP的法向量，再利用向量坐標運算證明線面平行；
（2）分別求出兩平面的法向量，利用向量數(shù)量積運算求兩法向量的夾角的余弦值．
解答：解：（1）證明：如圖，建立空間直角坐標系O-xyz．
連接OB，易知△OBC為等邊三角形，
，
則D（0，1，1），．
又易知平面AOP的法向量
為   ，
由，
得，
又∵BD?平面AOP，
∴BD∥平面AOP
（2）在△OAB中，OB=2，∠AOB=∠ABO=30°，則∠OAB=120°，
由正弦定理，得，即，
∴，．
設(shè)平面PAB的法向量為，
由，
令，
則y=-1，z=1，
即
又平面OABC的法向量為，
∴．
∴二面角P-AB-O的余弦值為
點評：本題考查利用空間向量坐標運算證明線面平行、求二面角的大�。甤os＜，＞=．