Question

16．極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，兩種坐標(biāo)系中的長(zhǎng)度單位相同，已知曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ）．
（1）求曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；
（2）直線(xiàn)l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）與曲線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|．

Answer 1

分析 （1）將極坐標(biāo)方程兩邊同乘ρ，進(jìn)而根據(jù)ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐標(biāo)方程；
（2）將直線(xiàn)l的參數(shù)方程，代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，求出對(duì)應(yīng)的t值，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，求出|AB|．

解答 解：（1）∵曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為ρ=2（cosθ+sinθ）
∴ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ
∴x²+y²=2x+2y
即（x-1）²+（y-1）²=2------（5分）
（2）將l的參數(shù)方程代入曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程，
得t²-t-1=0，
所以|AB|=|t₁|+|t₂|=|t₁-t₂|=$\sqrt{1+4}$=$\sqrt{5}$．-------------------------（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是參數(shù)方程與普通方程，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，極坐標(biāo)，熟練掌握極坐標(biāo)方程與普通方程之間互化的公式，及直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是解答的關(guān)鍵．