Question

已知數(shù)列滿足（）．

（1）若數(shù)列是等差數(shù)列，求它的首項和公差；

（2）證明：數(shù)列不可能是等比數(shù)列；

（3）若，（），試求實數(shù)和的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；并求此時數(shù)列的通項公式．

 

Answer 1

（1）首項為，公差為，（2）詳見解析，（3），，.

【解析】

試題分析：（1）求特殊數(shù)列（等差數(shù)列或等比數(shù)列）通項的基本方法就是待定系數(shù)法.本題中只需確定公差與首項，即只需列出兩個獨立條件就可解出. 由已知，，若是等差數(shù)列，則，即，得，， 故．所以，數(shù)列的首項為，公差為．（2）證明數(shù)列不可能是等比數(shù)列，宜從反面出發(fā)推出矛盾即可. 假設數(shù)列是等比數(shù)列，則有，解得，從而，，又．，，，不成等比數(shù)列，與假設矛盾，（3）本題也可同（1）一樣用待定系數(shù)法解，即需列出三個獨立條件，解出參數(shù)但運算量較大，故考慮用方程恒等，系數(shù)對應相等方法求解. 由化簡得，所以， 再由數(shù)列通項可得.

試題解析：解（1）由已知，，

若是等差數(shù)列，則，即，

得，， 故．

所以，數(shù)列的首項為，公差為． （5分）

（2）假設數(shù)列是等比數(shù)列，則有，

即，

解得，從而，，

又．

因為，，，不成等比數(shù)列，與假設矛盾，

所以數(shù)列不是等比數(shù)列． （10分）

（3）由題意，對任意，有（為定值且），

即．

即，

于是，，

所以，

所以，當，時，數(shù)列為等比數(shù)列．

此數(shù)列的首項為，公比為，所以．

因此，的通項公式為． （16分）

考點：等差數(shù)列及等比數(shù)列通項