Question

2．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M、N分別是棱A′B′、B′C′的中點，P是棱AD上一點，AP=$\frac{a}{3}$，過P、M、N的平面與棱CD交于Q，則PQ的長度為$\frac{2\sqrt{\sqrt{2}}}{3}$a．

Answer 1

分析 如圖所示，連接AC，A′C′．由正方體可得：四邊形ACC′A′是矩形．M、N分別是棱A′B′、B′C′的中點，可得MN∥A′C′，由面面平行的性質定理可得MN∥PQ．可得PQ∥AC，$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{DP}{AD}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，連接AC，A′C′．
由正方體可得：四邊形ACC′A′是矩形．
∴AC∥A′C′．
∵M、N分別是棱A′B′、B′C′的中點，∴MN∥A′C′．
平面A′B′C′D′∥底面ABCD，又過P、M、N的平面與棱CD交于Q，
∴MN∥PQ．
∴PQ∥AC，∴$\frac{PQ}{AC}$=$\frac{DP}{AD}$=$\frac{2}{3}$，
又AC=$\sqrt{2}$a，
∴PQ=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a．
故答案為：$\frac{2\sqrt{2}}{3}$a．

點評 本題考查了正方體的性質、線面面面平行的判定與性質定理、平行線分線段成比例定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．