Question

已知函數(shù)，其中a是大于0的常數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）當a∈（1，4）時，求函數(shù)f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）若對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，試確定a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由得，
解得a＞1時，定義域為（0，+∞）
a=1時，定義域為{x|x＞0且x≠1}，
0＜a＜1時，定義域為或}
（2）設，當a∈（1，4），x∈[2，+∞）時，
恒成立，
∴在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴在[2，+∞）上是增函數(shù)，
∴在[2，+∞）上的最小值為；
（3）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，
即對x∈[2，+∞）恒成立
∴a＞3x-x²，而在x∈[2，+∞）上是減函數(shù)，
∴h（x）_max=h（2）=2，∴a＞2
分析：（1）求函數(shù)f（x）的定義域，就是）求，可以通過對a分類討論解決；
（2）可以構造函數(shù)，當a∈（1，4）時通過導數(shù)法研究g（x）在[2，+∞）上的單調(diào)性，再利用復合函數(shù)的性質(zhì)可以求得f（x）在[2，+∞）上的最小值；
（3）對任意x∈[2，+∞）恒有f（x）＞0，即對x∈[2，+∞）恒成立，轉(zhuǎn)化為a是x的函數(shù)，即可求得a的取值范圍．
點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，（1）著重考查分類討論思想；（2）著重考查復合函數(shù)的函數(shù)單調(diào)性質(zhì)求最值，方法為導數(shù)法；（3）著重考查分離參數(shù)法，是一道好題．